Wie werden Optionen bewertet?
Das Black-Scholes-Modell (1973) revolutionierte die Finanzwelt. Es ermöglicht die Berechnung eines "fairen" Optionspreises basierend auf wenigen Inputvariablen. Alle Greeks leiten sich aus diesem Modell ab.
Die 5 Black-Scholes Inputs
Spot-Preis (S)
Aktueller Kurs des Basiswerts (z.B. SPY = 600$)
Strike-Preis (K)
Ausübungspreis der Option (z.B. 610$)
Zeit bis Verfall (T)
In Jahren ausgedrückt (30 Tage = 30/365 = 0.082)
Volatilität (σ)
Implizite Volatilität, annualisiert (z.B. 20%)
Risikofreier Zinssatz (r)
T-Bill Rate (z.B. 5%)
Die Black-Scholes Formel
Für einen europäischen Call:
C = S × N(d₁) - K × e^(-rT) × N(d₂)
Wobei:
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
N(x) ist die kumulative Standardnormalverteilung - die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable kleiner als x ist.
Intuitive Erklärung
Die Formel lässt sich wie folgt verstehen:
S × N(d₁)
Der erwartete Wert, den du erhältst, wenn die Option ausgeübt wird, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit der Ausübung.
- K × e^(-rT) × N(d₂)
Der abgezinste Strike-Preis, den du zahlst, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dass du ihn tatsächlich zahlst.
Praktisches Beispiel
Inputs:
Innerer vs. Zeitwert
Der Optionspreis setzt sich aus zwei Komponenten zusammen:
Innerer Wert (Intrinsic)
Was du bekommst, wenn du jetzt ausübst:
Call: max(S - K, 0)
Put: max(K - S, 0)
Zeitwert (Extrinsic)
Die "Hoffnungsprämie" - der Rest:
Optionspreis - Innerer Wert
Beispiel: SPY 590-Call bei SPY = 600$
Optionspreis
15.00$
Innerer Wert
10.00$
Zeitwert
5.00$
Black-Scholes Limitationen
Das Modell macht vereinfachende Annahmen, die nicht immer zutreffen:
- !
Konstante Volatilität
In Realität ändert sich IV ständig
- !
Log-normale Renditeverteilung
Maerkte haben "Fat Tails" - extreme Events sind häufiger
- !
Keine Dividenden
Kann mit Anpassungen berücksichtigt werden
- !
Europäische Optionen
Amerikanische Optionen können früher ausgeübt werden
Verbindung zu GEX
Die Greeks, die wir für GEX benoetigen (besonders Gamma), werden alle aus dem Black-Scholes-Modell abgeleitet:
Γ = N'(d₁) / (S × σ × √T)
Wo N'(d₁) die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist. Diese Gamma-Werte fliessen dann in die GEX-Berechnung ein.
🦍 Was du dir merken solltest
- ✓Black-Scholes braucht 5 Inputs: S, K, T, σ, r
- ✓Optionspreis = Innerer Wert + Zeitwert
- ✓Alle Greeks werden aus der BS-Formel abgeleitet
- ✓Das Modell hat Limitationen (konstante Vol, keine Fat Tails)
- ✓Gamma für GEX kommt aus Black-Scholes