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Bananenpfad/Affen Quant/Black-Scholes
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Black-Scholes Deep Dive

Kapitel 4 von 10

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Das Black-Scholes-Merton Modell

Die fundamentale Grundlage moderner Optionsbewertung. Verstehe die vollstandige Mathematik hinter d₊, d₋ und allen Greeks.

Die Black-Scholes-Merton Formel

/* European Call Option Price */
C = S × e^(-q×T) × N(d₊) - K × e^(-r×T) × N(d₋)
/* European Put Option Price */
P = K × e^(-r×T) × N(-d₋) - S × e^(-q×T) × N(-d₊)
/* Put-Call Parity */
C - P = S × e^(-q×T) - K × e^(-r×T)
S = Spot Price
K = Strike Price
T = Time to Expiry (years)
r = Risk-free Rate
q = Dividend Yield
sigma = Volatility

Was die Formel intuitiv bedeutet:

Die BSM-Formel zerlegt den Optionspreis in zwei Teile:

  • 1.S × N(d₊) = Was du bekommst: Der erwartete Wert der Aktie, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dass du sie erhältst (Option endet ITM)
  • 2.K × N(d₋) = Was du zahlst: Der Strike-Preis, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dass du ihn zahlen musst

Die e^(-r×T) und e^(-q×T) Terme diskontieren diese Werte auf heute - schließlich bekommst du die Aktie erst bei Verfall.

Die d₊ und d₋ Parameter

Die Parameter d₊ (auch d₁) und d₋ (auch d₂) sind das Herzstuck des Black-Scholes Modells. Sie messen die Moneyness normalisiert nach Volatilitat und Zeit.

/* d-plus (d₁) - Forward Moneyness adjusted */
d₊ = [ln(S/K) + (r - q + sigma²/2) × T] / (sigma × sqrt(T))
/* d-minus (d₂) - Risk-neutral probability measure */
d₋ = d₊ - sigma × sqrt(T)
/* Alternative form for d₋ */
d₋ = [ln(S/K) + (r - q - sigma²/2) × T] / (sigma × sqrt(T))

N(d₊) Interpretation

Delta eines Calls = N(d₊) × e^(-q×T)

Entspricht der hedging-adjustierten Wahrscheinlichkeit, dass S > K unter dem stock measure.

N(d₋) Interpretation

Risk-neutral Probability dass Option ITM endet.

N(d₋) = P(S_T > K) unter dem risk-neutral measure Q.

Praktisches Verständnis von d₊ und d₋

Stell dir d₊ als "normalisierte Moneyness" vor - sie misst, wie weit die Option im oder aus dem Geld ist, angepasst für Volatilität und Zeit:

  • •d₊ > 0: Option ist tendenziell ITM (im Geld)
  • •d₊ ≈ 0: Option ist ATM (am Geld)
  • •d₊ < 0: Option ist tendenziell OTM (aus dem Geld)

Der Unterschied d₊ - d₋ = σ√T ist genau die "Volatilitäts-Unsicherheit" - je höher die Vol oder je länger die Laufzeit, desto größer die Differenz zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Die Normalverteilung N(x) und N'(x)

/* Cumulative Standard Normal Distribution */
N(x) = (1/sqrt(2*pi)) × Integral_(-inf)^x e^(-z²/2) dz
/* Standard Normal PDF (for Greeks) */
N'(x) = dN/dx = (1/sqrt(2*pi)) × e^(-x²/2)
/* Key Property */
N'(d₊) = N'(d₋) × K/S × e^((r-q)×T)

Warum N'(x) wichtig ist

Die PDF N'(x) erscheint in fast allen Greeks-Formeln. Sie ist am grossten bei x=0 (ATM Optionen) und symmetrisch. Dies erklart, warum ATM-Optionen die hochsten Gamma, Vega, Theta und andere Greeks haben.

Vollstandige Greeks-Formeln

Delta (d)

Call: Delta_C = e^(-q×T) × N(d₊)
Put: Delta_P = -e^(-q×T) × N(-d₊)

Gamma (Gamma)

Gamma = e^(-q×T) × N'(d₊) / (S × sigma × sqrt(T))

Identisch fur Calls und Puts

Theta (Theta)

Theta_C = -e^(-q×T) × S × N'(d₊) × sigma / (2×sqrt(T)) + q × S × e^(-q×T) × N(d₊) - r × K × e^(-r×T) × N(d₋)
Theta_P = -e^(-q×T) × S × N'(d₊) × sigma / (2×sqrt(T)) - q × S × e^(-q×T) × N(-d₊) + r × K × e^(-r×T) × N(-d₋)

Vega (nu)

Vega = S × e^(-q×T) × N'(d₊) × sqrt(T)

Identisch fur Calls und Puts (per 1% vol move teilen durch 100)

Rho (rho)

Rho_C = K × T × e^(-r×T) × N(d₋)
Rho_P = -K × T × e^(-r×T) × N(-d₋)

Was die Greeks im Alltag bedeuten:

Delta: Wie viel € gewinnt/verliert deine Option, wenn die Aktie um 1€ steigt?

Gamma: Wie schnell ändert sich dein Delta? Hoher Wert = instabile Position.

Theta: Wie viel € verliert deine Option pro Tag durch Zeitverfall?

Vega: Wie viel € gewinnt/verliert deine Option, wenn die IV um 1% steigt?

Rho: Sensitivity zu Zinsen - meist vernachlässigbar außer bei LEAPS.

Tipp: ATM-Optionen haben maximales Gamma und Vega, minimales absolutes Delta. ITM-Optionen haben hohes Delta, wenig Gamma/Vega.

Second-Order Greeks (BSM Closed-Form)

Vanna

Vanna = -e^(-q×T) × N'(d₊) × d₋ / sigma
= Vega/S × (1 - d₊/(sigma×sqrt(T)))

Charm (Delta Decay)

Charm = q × e^(-q×T) × N(d₊) - e^(-q×T) × N'(d₊) × [2(r-q)T - d₋×sigma×sqrt(T)] / [2T×sigma×sqrt(T)]

Volga (Vomma)

Volga = Vega × d₊ × d₋ / sigma

Numerisches Beispiel

Berechnung eines SPY Call mit den folgenden Parametern:

S = 450
K = 455
T = 0.0833 (30 days)
r = 0.05
q = 0.013
sigma = 0.18
/* Step 1: Calculate d₊ */
d₊ = [ln(450/455) + (0.05 - 0.013 + 0.18²/2) × 0.0833] / (0.18 × sqrt(0.0833))
d₊ = -0.1289
/* Step 2: Calculate d₋ */
d₋ = -0.1289 - 0.18 × sqrt(0.0833)
d₋ = -0.1809
/* Step 3: Look up N(d₊) and N(d₋) */
N(d₊) = N(-0.1289) = 0.4487
N(d₋) = N(-0.1809) = 0.4282
/* Step 4: Calculate Call Price */
C = 450 × e^(-0.013×0.0833) × 0.4487 - 455 × e^(-0.05×0.0833) × 0.4282
C = $7.36

Berechnete Greeks

Delta = 0.447
Gamma = 0.0387
Theta = -0.287 $/day
Vega = 0.516 $/1%

Second-Order Greeks

Vanna = 0.0021
Charm = -0.0012
Volga = 0.0067

Model Limitations

1.

Konstante Volatilitat: BSM nimmt konstante Vol an. In der Realitat haben wir Skew und Term Structure.

2.

Log-Normal Returns: Echte Returns haben Fat Tails. BSM unterschatzt Tail-Risk.

3.

Continuous Trading: Keine Overnight-Gaps, keine Transaktionskosten im Modell.

4.

European Options: BSM gilt fur European-Style. American Options brauchen andere Modelle.

🧠 Institutionelle Perspektive

  • +d₊ und d₋ sind normalisierte Moneyness-Metriken
  • +N'(d) treibt alle Konvexitats-Greeks (Gamma, Vega, etc.)
  • +BSM ist die Benchmark - alle anderen Modelle sind Erweiterungen
  • +Verstehe die Limitationen um Modellrisiken zu managen
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