🍌...
Bananenpfad/Affen Quant/Speed & Color
🧠

Speed & Color

Kapitel 3 von 10 - Third-Order Greeks

0 / 10 abgeschlossen0%

Third-Order Greeks

Speed und Color sind dritte Ableitungen des Optionspreises. Sie beschreiben, wie sich Second-Order Greeks verandern und sind kritisch fur dynamisches Hedging bei großen Portfolios.

S

Speed (Gamma of Gamma)

Wie schnell andert sich Gamma bei Spot-Bewegung?

/* Formal Definition */
Speed = dGamma/dS = d³V/dS³
/* Black-Scholes Closed Form */
Speed = -e^(-q*t) * N'(d₁) / (S² * sigma * sqrt(t)) * (d₁/(sigma*sqrt(t)) + 1)
/* Alternative Expression */
Speed = -Gamma/S * (d₁/(sigma*sqrt(t)) + 1)

Speed Sign Convention

  • - Below ATM: Speed > 0 (Gamma increasing)
  • - At ATM: Speed = 0 (Gamma maximum)
  • - Above ATM: Speed < 0 (Gamma decreasing)

Praktische Bedeutung

Speed zeigt, ob Gamma-Hedging bei einer Bewegung leichter oder schwieriger wird. Positives Speed = Hedge wird großer mit dem Move.

Speed Exposure im Portfolio

SpeedExp = Sigma_i (Speed_i * OI_i * 100 * S³ * Direction_i)

Hohe Speed Exposure bedeutet: Gamma-Hedging-Kosten eskalieren schnell bei großen Moves. Kritisch fur Tail-Risk Management.

Was Speed intuitiv bedeutet:

Stell dir Gamma als "Beschleunigung" deiner Option vor. Speed ist dann die "Ruck" - wie schnell ändert sich diese Beschleunigung?

Speed > 0 (OTM Region)

Dein Gamma wird stärker, je näher der Preis an deinen Strike kommt. Die Position wird "heißer".

Speed < 0 (ITM Region)

Dein Gamma nimmt ab, je weiter ITM du gehst. Die Position wird "ruhiger".

Speed und Gamma-Konvexitat

Gamma-Kurve mit Speed-Regionen

        Gamma
          ^
          |      Speed < 0
          |    (Gamma falling)
          |        *****
          |      **     **
          |     *         *     Speed > 0
          |    *           *   (Gamma rising)
          |   *             *
          |  *               *
          | *                 *
          +-------------------------> Spot
              OTM    ATM    ITM

OTM Region

Speed > 0

Gamma accelerating

ATM Region

Speed ≈ 0

Gamma maximum

ITM Region

Speed < 0

Gamma decelerating

C

Color (Gamma Decay)

Wie schnell andert sich Gamma mit der Zeit?

/* Formal Definition */
Color = dGamma/dt = d³V/(dS² * dt)
/* Black-Scholes Closed Form */
Color = -e^(-q*t) * N'(d₁) / (2*S*t*sigma*sqrt(t)) * [2*q*t + 1 + d₁ * (2*(r-q)*t - d₂*sigma*sqrt(t)) / (sigma*sqrt(t))]
/* Simplified (zero dividends, zero rates) */
Color ≈ Gamma / (2*t) * [1 - d₁*d₂/(sigma²*t)]

ATM Optionen

Color > 0: Gamma steigt mit Zeit (kurze Zeit bis Expiry). Near Expiry explodiert ATM Gamma -> Color zeigt diese Beschleunigung.

OTM/ITM Optionen

Color kann negativ sein: Gamma fallt mit der Zeit. Deep OTM Optionen verlieren ihr Gamma-Potential mit Time Decay.

Color und 0DTE Trading

dGamma_overnight = Color * dt ≈ Color * (1/252)

Bei 0DTE Optionen ist Color extrem hoch. Uber Nacht kann sich das Gamma-Profil dramatisch andern -> Overnight-Gap-Risiko fur Gamma-Trader.

Praktisches Beispiel: Color im Alltag

Du hast einen ATM Straddle auf SPY mit 5 Tagen bis Expiry. Dein Gamma ist hoch, du profitierst von Bewegungen.

Tag 1-3: Color leicht positiv

Dein Gamma steigt langsam an. Die Position wird jeden Tag etwas "reaktiver". Theta frisst dich, aber Gamma kompensiert bei Bewegungen.

Tag 4-5: Color explodiert

Dein ATM Gamma schießt in die Höhe - aber nur wenn du ATM bleibst! Ein 1% Move macht deine Option plötzlich OTM und Color zerstört dein Gamma.

Tipp: Bei 0-2 DTE ist Color so extrem, dass kleine Moves über Leben und Tod deiner Position entscheiden.

Weitere Third-Order Greeks

Zommad³V/(dS²*dSigma)
Zomma = dGamma/dSigma = Gamma * (d₁*d₂ - 1) / sigma

Zeigt wie sich Gamma bei Vol-Anderungen verhalt. Kritisch fur Portfolios mit großen Gamma-Positionen in volatilen Markten.

Ultimad³V/dSigma³
Ultima = dVolga/dSigma = Vega * (d₁*d₂*(1-d₁*d₂) + d₁² + d₂²) / sigma²

Dritte Ableitung nach Volatilitat. Relevant fur exotische Vol-Produkte und extrem wing options mit hohem Volga.

Vanna Volgad³V/(dS*dSigma²)
dVanna/dSigma = Vanna * (d₁*d₂ - 1) / sigma

Sensitivitat von Vanna auf Vol-Anderungen. Wichtig fur das Verstandnis von Skew-Dynamiken bei Vol-Regimewechseln.

Vollstandige Greeks-Hierarchie

OrderGreekPartielle AbleitungHedging Use
1stDeltadV/dSDirectional hedge
2ndGammad²V/dS²Convexity hedge
3rdSpeedd³V/dS³Gamma convexity
3rdColord³V/(dS²*dt)Gamma time decay
3rdZommad³V/(dS²*dSigma)Gamma vol sensitivity
3rdUltimad³V/dSigma³Volga convexity

Praktische Anwendung: Gamma Scalping

/* P&L from Gamma Scalping over interval dt */
P&L = 0.5 * Gamma * dS² - Theta * dt
/* Including third-order effects */
P&L = 0.5 * Gamma * dS² + (1/6) * Speed * dS³ + 0.5 * Color * dt * dS² - Theta * dt
/* Breakeven move (simplified) */
dS_BE = sqrt(2 * Theta * dt / Gamma)

Speed-adjusted Breakeven

Speed verändert das Breakeven fur Gamma-Scalping:

  • - Speed > 0: Breakeven wird kleiner (einfacher zu erreichen)
  • - Speed < 0: Breakeven wird großer (schwieriger zu erreichen)
  • - Color > 0: Time decay des Breakeven wird langsamer

🧠 Institutionelle Perspektive

  • +Speed ist kritisch fur Tail-Risk und große Moves
  • +Color erklart Gamma-Explosionen near Expiry
  • +Third-Order Greeks sind essentiell fur große Options-Portfolios
  • +0DTE Handel erfordert Color-Bewusstsein fur Overnight-Risiken
Vanna & CharmNächstes Kapitel